Η χρυσή τομή

Η χρυσή τομή $\,\phi$ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών $\frac{\alpha}{\beta}$ όταν ισχύει $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha}$ που ισούται περίπου με 1,618. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση.

Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (585 - 500 π.Χ.) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα $\,\phi$ προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής περιόδου.

Μαθηματικός τύπος

Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο.

$\frac{a+b}a=\frac{a}b=\phi.$

Από το (2)=(3) έχουμε $\,a=\phi b$ και αντικαθιστώντας στο (1)=(3) προκύπτει

$\,\phi^2-\phi-1=0.$

Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, την $\phi=\frac{1+\sqrt5}2$ = 1.618033988749895

Ιδιότητες

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει $\,\phi=1+1/\phi$ σύμφωνα με την οποία μπορούμε να εκφράσουμε το $\,\phi$ ως άπειρο διαδοχικό κλάσμα:

$\,\phi=1+\frac1{\phi}=1+\frac1{1+\frac1{\phi}}=\cdots=1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{\dots}}}}$

Το $\,\phi$ αποτελεί το όριο του πηλίκου δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο).

2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι).

3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.

4. Προεκτείνουμε την πλευρα του τετραγώνου πάνω στην οποία βρίσκεται το κέντρο του κύκλου ως τον κύκλο (μπλε).

Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση εχει μήκος φ.

Ιστορία

Το σήμα των Πυθαγορείων μαζί με την επισήμανση του χρυσού λόγου

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.^[1]

Ο χρυσός λόγος εντοπίζεται και στη φύση. Για παράδειγμα στον ναυτίλο, ο λόγος των ακτίνων του κάθε θαλάμου με τον προηγούμενο ισούται με το χρυσό λόγο. Στο ανθρώπινο σώμα ο χρυσός λόγος εντοπίζεται σε πολλές ανατομικές αναλογίες, τις οποίες παρατήρησε και κατέγραψε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι στον βιτρούβιο άντρα.